Question

已知函数.

(1)当时,求的单调区间；

(2)若函数在上无零点,求的最小值。

Answer

(1) 的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，).

(2函数在上无零点，则的最小值为.

【解析】

试题分析：(1)当时, ()，则.    2分

由得；由得.                4分

故的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，).        5分

(2)要使函数在上无零点,只要对任意,无解.

即对，无解.       7分

令，，则，  9分

再令，，则.  11分

故在为减函数，于是，

从而，于是在上为增函数，

所以，                 13分

故要使无解，只要.

综上可知，若函数在上无零点，则的最小值为.   14分

考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性、最值及不等式证明问题，不等式的解法。