Question

已知函数在处取得极值.

(1)求实数的值；

(2)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围；

(3)证明:对任意的正整数,不等式都成立.

Answer

(1) a=1. （2）, (3) 利用导数判断函数的单调性，然后再利用单调性及数列知识证明即可

【解析】

试题分析：(1)                

时,取得极值,                

故解得经检验a=1符合题意. 

（2）由a=1知 由,得 

令则在区间上恰有两个不同的实数根等价于在区间上恰有两个不同的实数根.           

当时,,于是在上单调递增; 

当时,,于是在上单调递减.

依题意有,

解得,               

(3) 的定义域为,由(1)知,

令得,x=0或(舍去),  当时, ,单调递增;

当时, ,单调递减. 为在上的最大值.                        

,故(当且仅当x=0时,等号成立)

对任意正整数n,取得,  

.

故.

考点：本题考查了导数的运用