Question

如图，在平面直角坐标系中，设点（），直线:，点在直线上移动，是线段与轴的交点, 过、分别作直线、，使， .

(1)求动点的轨迹的方程；

（2）在直线上任取一点做曲线的两条切线，设切点为、，求证：直线恒过一定点；

(3)对（2）求证：当直线的斜率存在时，直线的斜率的倒数成等差数列.

Answer

(1)．（2）利用导数法求出直线AB的方程，然后再利用直线横过定点知识解决.（3）用坐标表示出斜率，然后再利用等差中项的知识证明即可

【解析】

试题分析：(1)依题意知，点是线段的中点，且⊥，

∴是线段的垂直平分线．∴．

故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为：．

（2）设，两切点为， 

由得，求导得．

∴两条切线方程为 ① 

②                 

对于方程①，代入点得，，又

∴整理得：

同理对方程②有

即为方程的两根.

∴  ③                            

设直线的斜率为，

所以直线的方程为，展开得：

，代入③得：

∴直线恒过定点.                            

(3) 证明：由（2）的结论，设， ， 

且有，  

∴                  

∴

=  

又∵，所以

即直线的斜率倒数成等差数列.  

考点：本题考查了抛物线与导数、数列的综合考查