Question

如图所示，在三棱锥PABC中，已知PC⊥平面ABC，点C在平面PBA内的射影D在直线PB上．

(1)求证：AB⊥平面PBC；

(2)设AB＝BC，直线PA与平面ABC所成的角为45°，求异面直线AP与BC所成的角；

(3)在(2)的条件下，求二面角C-PA-B的余弦值．

Answer

(1)由PC⊥平面ABC，得AB⊥PC.由点C在平面PBA内的射影D在直线PB上，

得到CD⊥平面PAB.进一步推出AB⊥平面PBC.

(2)异面直线AP与BC所成的角为60°.

(3)所求二面角的余弦值为.

【解析】

试题分析：(1)∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，

∴AB⊥PC.∵点C在平面PBA内的射影D在直线PB上，

∴CD⊥平面PAB.

又∵AB?平面PBA，∴AB⊥CD.

又∵CD∩PC＝C，∴AB⊥平面PBC.

(2)∵PC⊥平面ABC，

∴∠PAC为直线PA与平面ABC所成的角．

于是∠PAC＝45°，设AB＝BC＝1，则PC＝AC＝，以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0，0)，A(0,1,0)，C(1,0,0)，P(1,0，)，

＝(1，－1，)，＝(1,0,0)，

∵cos〈，〉＝＝，∴异面直线AP与BC所成的角为60°.

(3)取AC的中点E，连接BE，则＝（，，0），

∵AB＝BC，∴BE⊥AC.又∵平面PCA⊥平面ABC，

∴BE⊥平面PAC.∴是平面PAC的法向量．设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则由得取z＝1，得

∴n＝(－，0,1)．

于是cos〈n，〉＝＝＝－.

又∵二面角C-PA-B为锐角，∴所求二面角的余弦值为.

考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系、角的计算。