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如图所示,在三棱锥PABC中,已知PC⊥平面ABC,点C在平面PBA内的射影D在...

如图所示,在三棱锥PABC中,已知PC⊥平面ABC,点C在平面PBA内的射影D在直线PB上.

说明: 满分5 manfen5.com

(1)求证:AB⊥平面PBC;

(2)设AB=BC,直线PA与平面ABC所成的角为45°,求异面直线AP与BC所成的角;

(3)在(2)的条件下,求二面角C-PA-B的余弦值.

 

(1)由PC⊥平面ABC,得AB⊥PC.由点C在平面PBA内的射影D在直线PB上, 得到CD⊥平面PAB.进一步推出AB⊥平面PBC. (2)异面直线AP与BC所成的角为60°. (3)所求二面角的余弦值为. 【解析】 试题分析:(1)∵PC⊥平面ABC,AB?平面ABC, ∴AB⊥PC.∵点C在平面PBA内的射影D在直线PB上, ∴CD⊥平面PAB. 又∵AB?平面PBA,∴AB⊥CD. 又∵CD∩PC=C,∴AB⊥平面PBC. (2)∵PC⊥平面ABC, ∴∠PAC为直线PA与平面ABC所成的角. 于是∠PAC=45°,设AB=BC=1,则PC=AC=,以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(0,1,0),C(1,0,0),P(1,0,), =(1,-1,),=(1,0,0), ∵cos〈,〉==,∴异面直线AP与BC所成的角为60°. (3)取AC的中点E,连接BE,则=(,,0), ∵AB=BC,∴BE⊥AC.又∵平面PCA⊥平面ABC, ∴BE⊥平面PAC.∴是平面PAC的法向量.设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则由得取z=1,得 ∴n=(-,0,1). 于是cos〈n,〉===-. 又∵二面角C-PA-B为锐角,∴所求二面角的余弦值为. 考点:本题主要考查立体几何中的垂直关系、角的计算。
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为考查某种药物预防疾病的效果,进行动物试验,得到如下丢失数据的列联表:

药物效果试验列联表

 

患病

未患病

总计

没服用药

20

30

50

服用药

x

y

50

总计

M

N

100

设从没服用药的动物中任取两只,未患病数为X;从服用药物的动物中任取两只,未患病数为Y,工作人员曾计算过P(X=0)=说明: 满分5 manfen5.com P(Y=0).

(1)求出列联表中数据x,y,M,N的值;

(2)能够有多大的把握认为药物有效?

(3)现在从该100头动物中,采用随机抽样方法每次抽取1头,抽后返回,抽取5次, 若每次抽取的结果是相互独立的,记被抽取的5头中为服了药还患病的数量为说明: 满分5 manfen5.com.,求说明: 满分5 manfen5.com的期望E(说明: 满分5 manfen5.com)和方差D(说明: 满分5 manfen5.com).

参考公式:说明: 满分5 manfen5.com(其中说明: 满分5 manfen5.com

P(K2≥k)

0.25

0.15

0.10

0.05

0.010

0.005

k

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2.706

3.845

6.635

7.879

 

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P(K2≥k)

0.25

0.15

0.10

0.025

0.010

0.005

k

1.323

2.072

2.706

5.024

6.635

7.879

 

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