Question

已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值为0，其中a>0.

（1）求a的值；

（2）若对任意的x∈[0，＋∞)，有f(x)≤kx²成立，求实数k的最小值．]

Answer

（1）a＝1.（2）

【解析】

试题分析：(1)f(x)的定义域为(－a，＋∞)．

f ′(x)＝1－＝.

由f ′(x)＝0，得x＝1－a>－a.

当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

(－a,1－a)

1－a

(1－a，＋∞)

f ′(x)

－

0

＋

f(x)



极小值

因此，f(x)在x＝1－a处取得最小值，

故由题意f(1－a)＝1－a＝0，所以a＝1.

(2)当k≤0时，取x＝1，有f(1)＝1－ln2>0，

故k≤0不合题意．

当k>0时，令g(x)＝f(x)－kx2，

即g(x)＝x－ln(x＋1)－kx2.

g′(x)＝－2kx＝.

令g′ (x)＝0，得x1＝0，x2＝>－1.

①当k≥时，≤0，g′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，因此g(x)在[0，＋∞)上单调递减．从而对于任意的x∈[0，＋∞)，总有g(x)≤g(0)＝0，即f(x)≤kx2在[0，＋∞)上恒成立．

故k≥符合题意．

②当00，对于x∈(0，)，g′(x)>0，故g(x)在(0，)内单调递增．因此当取x0∈(0，)时，g(x0)>g(0)＝0，即f(x0)≤kx不成立．

故0