Question

动圆M过定点A(－，0)，且与定圆A´：(x－)²＋y²＝12相切．

(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；

(2)过点P(0，2)的直线l与轨迹C交于不同的两点E、F，求的取值范围．

Answer

（1）

（2）

【解析】

试题分析：【解析】
(1)A´(，0)，依题意有|MA´|＋＝2  1分

|MA´|＋|MA|＝2 ＞2                    3分

∴点M的轨迹是以A´、A为焦点，2为长轴上的椭圆，   4分

∵a＝，c＝ ∴b2＝1．                 5分

因此点M的轨迹方程为                 6分                

(2)设l的方程为x＝k(y－2)代入，消去x得：

(k2＋3)y2－4k2y＋4k2－3＝0                       8分

由△＞0得16k4－(4k2－3)(k2＋3)＞0 0≤k2＜1    9分

设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝   10分

又＝(x1，y1－2)，＝(x2，y2－2)

∴·＝x1x2＋(y1－2)(y2－2)＝k(y1－2)·k (y2－2) ＋(y1－2)(y2－2)＝(1＋k2)＝       12分

∵0≤k2＜1 ∴3≤k2＋3＜4                 13分

∴·∈                            14分

考点：向量的数量积以及直线与椭圆的位置关系