Question

(本小题满分14分) 已知在单位圆x²+y²=1上任取一点M，作MN⊥x轴，垂足为N， = 2．

(Ⅰ)求动点Q的轨迹的方程；

(Ⅱ)设点，点为曲线上任一点，求点到点距离的最大值；

(Ⅲ)在的条件下，设△的面积为(是坐标原点，是曲线上横坐标为的点)，以为边长的正方形的面积为．若正数满足，问是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．

Answer

(1) 

(2)时,；

时,；

时，,．所以， 

(3)

【解析】

试题分析：【解析】
(Ⅰ)设点Q的坐标为（x，y），M（x0，y0），则N（x0，0）

∴

∵=

∴

∵   ∴

∵点M（x0，y0）在单位圆x2 + y2 = 1上

∴

所以动点Q的轨迹C的方程为      .........................4分

(Ⅱ)设，则

，令，，所以，

当，即时在上是减函数，；

当，即时，在上是增函数，在上是减函数，则；

当，即时，在上是增函数，．

所以， ．          9分

(Ⅲ)当时，，于是，，

若正数满足条件，则，即，

，令，设，则，，于是

，

所以，当，即时，，

即，．所以，存在最小值．          14分

考点：轨迹方程的求解以及点到直线距离