Question

如图, 三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧棱AA₁⊥底面ABC, ∠ACB =" 90°," E是棱CC₁上动点, F是AB中点, AC =" 1," BC =" 2," AA₁ =" 4."

(1) 当E是棱CC₁中点时, 求证: CF∥平面AEB₁;

(2) 在棱CC₁上是否存在点E, 使得二面角A—EB₁—B

的余弦值是, 若存在, 求CE的长, 若不存在,

请说明理由.

Answer

(1)取AB1的中点G, 联结EG, FG，F、G分别是棱AB、AB1中点, 

又FG∥EC, ,  FG＝EC 四边形FGEC是平行四边形, 平面AEB.

(2)在棱CC1上存在点E, 符合题意, 此时

【解析】

试题分析：(1)证明：取AB1的中点G, 联结EG, FG

F、G分别是棱AB、AB1中点, 

又FG∥EC, ,  FG＝EC 四边形FGEC是平行四边形,

                   4分

CF平面AEB1, 平面AEB1  平面AEB.        6分

(2)【解析】
以C为坐标原点, 射线CA, CB, CC1为轴正半轴,

建立如图所示的空间直角坐标系

则C(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B1(0, 2, 4)

设, 平面AEB1的法向量.

则,

由,

得     8分  

平面

是平面EBB1的法向量,则平面EBB1的法向量         10分

二面角A—EB1—B的平面角余弦值为,

则解得

在棱CC1上存在点E, 符合题意, 此时              12分

考点：线面平行的判定与二面角的求解