Question

（本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知圆，

圆．

（Ⅰ）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；

（Ⅱ）圆是以1为半径，圆心在圆：上移动的动圆 ，若圆上任意一点分别作圆 的两条切线，切点为，求的取值范围 ；

（Ⅲ）若动圆同时平分圆的周长、圆的周长，如图所示，则动圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）或

（Ⅱ）

（Ⅲ）见解析

【解析】（Ⅰ）设直线的方程为，即．

因为直线被圆截得的弦长为，而圆的半径为1，

所以圆心到：的距离为．

化简，得，解得或．

所以直线的方程为或              ………4分

（Ⅱ） 动圆D是圆心在定圆上移动，半径为1的圆

设，则在中，，

有,则

由圆的几何性质得，，即，

则的最大值为，最小值为. 故.   ………9分

（Ⅲ）设圆心，由题意，得，

即．

化简得，即动圆圆心C在定直线上运动．

设，则动圆C的半径为．

于是动圆C的方程为．

整理，得．

由得或

所以定点的坐标为，．        ……14分