Question

已知函数f(x)＝x³＋x－16，

(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；

(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；

Answer

(1) y＝13x－32. (2)直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．

【解析】

试题分析：(1)∵f(2)＝23＋2－16＝－6，                          2分

∴点(2，－6)在曲线上．

∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，                 

∴在点(2，－6)处的切线的斜率为

k＝f′(2)＝3×22＋1＝13.                                   4分

∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)．

即y＝13x－32.                                           6分

(2)设切点为(x0，y0)，

则直线l的斜率为f′(x0)＝3 x02＋1，                         8分

∴直线l的方程为：

y＝(3 x02＋1)(x－x0)＋x02＋x0－16.

又∵直线l过点(0,0)，

∴0＝(3 x02＋1)(－x0)＋x02＋x0－16，                         10分

整理得x02＝－8，

∴x0＝－2，y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，

∴k＝3(－2)2＋1＝13，                                     12分

∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．           13分

考点：本题考查了导数的运用