Question

已知A，B两点在抛物线C：x²＝4y上，点M(0,4)满足＝λ.

(1)求证：；

(2)设抛物线C过A、B两点的切线交于点N.

(ⅰ)求证：点N在一条定直线上；    

(ⅱ)设4≤λ≤9，求直线MN在x轴上截距的取值范围．

Answer

(1)证明：∵＝0，∴.

(2)(ⅰ)点N(，－4)，所以点N在定直线y＝－4上． (ⅱ) [－，－]∪[，]．

【解析】

试题分析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

lAB：y＝kx＋4与x2＝4y联立得x2－4kx－16＝0，        

Δ＝(－4k)2－4(－16)＝16k2＋64>0，

x1＋x2＝4k，x1x2＝－16，                             2分

(1)证明：∵＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋4)(kx2＋4)

＝(1＋k2)x1x2＋4k(x1＋x2)＋16

＝(1＋k2)(－16)＋4k(4k)＋16＝0

∴.                                          4分

(2)(ⅰ)证明：过点A的切线：

y＝x1(x－x1)＋y1＝x1x－x12， ①

过点B的切线：y＝x2x－x22， ②                          6分

联立①②得点N(，－4)，所以点N在定直线y＝－4上．     8分

(ⅱ)∵＝λ，

∴(x1，y1－4)＝λ(－x2,4－y2)，

联立x1＝－λx2，x1＋x2＝4k，x1x2＝－16，

可得k2＝＝λ＋－2,4≤λ≤9，                 11分

∴≤k2≤.

直线MN：y＝x＋4在x轴上的截距为k.

∴直线MN在x轴上截距的取值范围是[－，－]∪[，]．       14分

考点：本题考查了向量的运用及直线与抛物线的位置关系