Question

（12分）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是CB、CD、CC₁的中点，

（1）求证：平面A B₁D₁∥平面EFG;

（2）求证：平面AA₁C⊥面EFG.

（3）求异面直线AC与A₁B所成的角

Answer

（1）先证平面平面,再证平面平面,从而可证结论；

（2）先证EF⊥AC，, 从而证明EF⊥平面,进而可证结论；

（3）

【解析】

试题分析：（1）∵分别是的中点，

∴,

∴平面平面,

又∵,

∴平面平面,

∴平面∥平面.                                                             ……4分

（2）∵EF∥BD ，ABCD为正方形

∴BD⊥AC, 即EF⊥AC，

又∵正方体中面ABCD,EF面ABCD, ∴,

∵，AC面,∴EF⊥平面,

又∵EF属于面EFG, ∴平面⊥平面EFG.                                                 ……8分（3）在正方体中显然有,

所以即为异面直线AC与A1B所成的角；

显然为正三角形，

所以，即异面直线AC与A1B所成的角为                                      ……12分

考点：本小题主要考查面面平行、线面垂直的证明和线面角的求解。