Question

（本题满分13分）某工厂有214名工人, 现要生产1500件产品, 每件产品由3个A型零件与1个B型零件配套组成, 每个工人加工5个A型零件与3个B型零件所需时间相同. 现将全部工人分为两组, 分别加工一种零件, 同时开始加工. 设加工A型零件的工人有x人, 在单位时间内每人加工A型零件5k个(k∈N*), 加工完A型零件所需时间为g(x), 加工完B型零件所需时间为h (x).

 (Ⅰ) 试比较与大小, 并写出完成总任务的时间的表达式；

(Ⅱ) 怎样分组才能使完成任务所需时间最少?

Answer

(Ⅰ)  

(Ⅱ)加工A型零件137人, 加工B型零件77人, 完成任务所需时间最少. 

【解析】

试题分析：

(Ⅰ) 由题意知, A型零件共需要4500个, B型零件共需要1500个,

加工B型零件的工人有214－x人, 单位时间内每人加工B型零件3k个,

所以 

所以                                ……3分

  0＜x＜214,且x∈N*.

∴ 当1≤x≤137(x∈N*)时, g(x)＞h(x);

138≤x≤213(x∈N*)时, g(x)＜h(x).

∴     （ 其中x∈N*).                              ……7分

(Ⅱ) 即求当x为何值时,  f(x)最小.

又为减函数, 为增函数,

而＜1,则x=137时f(x)最小,

即加工A型零件137人, 加工B型零件77人, 完成任务所需时间最少.                       ……13分

考点：本小题主要考查分段函数在实际问题中的应用.