Question

 已知函数f(x)=.

(1)若f(x)=2，求x的值；

(2)判断x>0时，f(x)的单调性；

(3)若恒成立，求m的取值范围。

Answer

(1) x＝log3(1＋) ；

(2) f(x)＝3x－在(0，＋∞)上单调递增 ；

(3) [－4，＋∞).

【解析】

试题分析：(1)当x≤0时，f(x)＝3x－3x＝0，∴f(x)＝2无解．

当x>0时，f(x)＝3x－，令3x－＝2，

∴(3x)2－2·3x－1＝0，∴3x＝1±.

∵3x>0，∴3x＝1－ (舍)．∴3x＝1＋.∴x＝log3(1＋)             4分

(2)当x>0，f(x)＝3x－.∵y＝3x在(0，＋∞)上单调递增，

y＝在(0，＋∞)上单调递减．

∴f(x)＝3x－在(0，＋∞)上单调递增        8分

(3)∵t∈[，1]，∴f(t)＝3t－>0，

∴3tf(2t)＋mf(t)≥0化为3t(32t－)＋m(3t－)≥0.

即3t(3t＋)＋m≥0.即m≥－32t－1.

令g(t)＝－32t－1，则g(t)在[，1]上递减，

∴g(x)max＝－4.

∴所求实数m的取值范围是[－4，＋∞)         13分

考点：本题主要考查指数函数的性质，指数方程的解法，不等式恒成立问题。