Question

已知动点到的距离比它到轴的距离多一个单位．

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点作曲线的切线，求切线的方程，并求出与曲线及轴所围成图形的面积．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）切线的方程为：，所求的图形的面积为

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设动点M的坐标为，

依题意得：动点M到点的距离与它到直线的距离相等，

由抛物线定义知：M的轨迹C是以为焦点，直线为准线的抛物线，

其方程为：．                                                             ……6分

（Ⅱ）∵曲线C的方程可写成：，

注意到点在曲线C上，过点N的切线斜率为，

故所求的切线的方程为：即．                                   ……9分

由定积分的几何意义，所求的图形的面积

．                                    ……13分

考点：本小题注意考查抛物线标准方程的求解，导数的运算，切线的求解和定积分的计算.