Question

已知椭圆方程为，左、右焦点分别是，若椭圆上的点到的距离和等于．

（Ⅰ）写出椭圆的方程和焦点坐标；

（Ⅱ）设点是椭圆的动点，求线段中点的轨迹方程；

（Ⅲ）直线过定点，且与椭圆交于不同的两点，若为锐角（为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．

Answer

（Ⅰ）椭圆的方程，焦点

（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意得：，

又点椭圆上，∴

∴ 椭圆的方程，焦点．                      ……5分

（Ⅱ）设椭圆上的动点，线段中点，

由题意得：，

代入椭圆的方程得，，

即为线段中点的轨迹方程．                        ……9分

（Ⅲ）由题意得直线的斜率存在且不为，

设代入整理，

得 ，

①

设，∴

∵为锐角，即，

又 ．

∴

， ∴ ． ②

由①、②得 ，∴的取值范围是．               ……14分

考点：本小题注意考查椭圆标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系等.