Question

如图，设、分别是圆和椭圆的弦，且弦的端点在轴的异侧，端点与、与的横坐标分别相等，纵坐标分别同号.

（Ⅰ）若弦所在直线斜率为，且弦的中点的横坐标为，求直线的方程；

（Ⅱ）若弦过定点，试探究弦是否也必过某个定点. 若有，请证明；若没有，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）弦必过定点.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意得：直线的方程为

，，设

，将代入检验符合题意，

故满足题意的直线方程为：

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得：圆的方程为：分

设、、、，

∵点在圆上，    ∴，………①

∵点在椭圆上，  ∴，………②

联立方程①②解得：，同理解得： 

∴、    ∵弦过定点，

∴且，即，

化简得 

直线的方程为：，即，

由得直线的方程为：，

∴弦必过定点.

解法二：由（Ⅰ）得：圆的方程为：

设、，

∵圆上的每一点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍可得到椭圆，

又端点与、与的横坐标分别相等，纵坐标分别同号，

∴、 

由弦过定点，猜想弦过定点. 

∵弦过定点，∴且，即……① ,,

由①得，

∴弦必过定点.

考点：本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识的综合应用。