已知函数且（Ⅰ）试用含的代数式表示；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）令，设函数在...

已知函数且

（Ⅰ）试用含的代数式表示；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；

（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为（Ⅲ）易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线，故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点【解析】试题分析：解法一：（Ⅰ）依题意，得由得（Ⅱ）由（Ⅰ）得故令，则或 ①当时，当变化时，与的变化情况如下表： + — + 单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为 ②由时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R ③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为（Ⅲ）当时，得由，得由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为所以函数在处取得极值。故所以直线的方程为由得令易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线，故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点解法二：（Ⅲ）当时，得，由，得由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故所以直线的方程为由得解得所以线段与曲线有异于的公共点。考点：本题考查了导数的运用

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考点分析：

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