Question

已知函数.

（I）求函数的单调区间；

（II）若函数上是减函数，求实数的最小值；

（III）若，使成立，求实数的取值范围.

Answer

（I） （II） （III）

【解析】

试题分析：由已知函数的定义域均为,且.

（Ⅰ）函数,

当时,.所以函数的单调增区间是.       3分

（Ⅱ）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．

所以当时，．

又，

故当，即时，，所以，故

所以的最小值为.

（Ⅲ）“若，使成立”等价于

“当时，有”，

有（Ⅱ），当时，有，，

问题等价于：“当时，有”

当时，由（Ⅱ），在上为减函数.

则，故.

当时，由于在上为增函数，

故的值域为，即．

由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：

当时，，为减函数；

当时，，为增函数；

所以，=，．

所以，，与矛盾，不合题意．

综上，.

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．