Question

已知函数，其图象在点 处的切线方程为

(1)求的值；

(2)求函数的单调区间，并求出在区间[－2,4]上的最大值．

Answer

(1) a＝1，b＝. (2)8.

【解析】

试题分析：(1)f′(x)＝x2－2ax＋a2－1，       2分

∵(1，f(1))在x＋y－3＝0上，∴f(1)＝2，  3分

∵(1,2)在y＝f(x)的图象上，∴2＝－a＋a2－1＋b，

又f′(1)＝－1，∴a2－2a＋1＝0，

解得a＝1，b＝.              6分

(2)∵f(x)＝x3－x2＋，∴f′(x)＝x2－2x，

由f′(x)＝0可知x＝0和x＝2是f(x)的极值点，所以有

x

(－∞，0)

0

(0,2)

2

(2，＋∞)

f′(x)

＋

0

－

0

＋

f(x)



极大值



极小值



                              8分

所以f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)．    10分

∵f(0)＝，f(2)＝，f(－2)＝－4，f(4)＝8，

∴在区间[－2,4]上的最大值为8.               13分

考点：导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值。