Question

在平面直角坐标系中，点与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.

(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；

(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

Answer

(Ⅰ) ； (Ⅱ)存在，点的坐标为

【解析】

试题分析：（I）【解析】
因为点B与点A（-1,1）关于原点O对称，所以点B的坐标为（1，-1）

设点P的坐标为（x，y）

由题意得

化简得

故动点P的轨迹方程为

（Ⅱ）解法一：设点P的坐标为，点的坐标分别为

则直线的方程式为，直线的方程式为

令得            6分

于是的面积 

             7分

又直线AB的方程为

点P到直线AB的距离                8分

于是的面积            9分

当时，得          10分

又，所以，解得         12分

因为，所以。              13分

故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为          14分

考点：轨迹方程是求法；直线与双曲线的综合应用。