Question

已知二次函数，及函数。

关于的不等式的解集为，其中为正常数。

（1）求的值；

（2）R如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点；

（3）若，且，求证： 。

Answer

（1） （2）,

（3）可用数学归纳法证明

【解析】

试题分析：（1）【解析】
∵关于的不等式的解集为，

即不等式的解集为，

∴.              

∴.

∴.

∴.                   

(2)解法1:由(1)得.

∴的定义域为.

∴.           

方程（*）的判别式

.                    

当时， 对恒成立，方程（*）的两个实根为

则时，；时，.

∴函数在上单调递减，在上单调递增.

∴对任意实数k，函数都有极小值点.             

解法2:由(1)得.

∴的定义域为.

∴.             

若函数存在极值点等价于函数有两个不等的零点，且至少有一个零点在上.              

令,

得, (*)

则,(**)             

方程（*）的两个实根为, .

设,

①若,则,得,此时,取任意实数, (**)成立.

则时，；时，.

∴函数在上单调递减，在上单调递增.

∴函数有极小值点.

②若,则得（不合舍去）

综上所述, 当时，取任何实数, 函数有极小值点；       

(其中, )

(3)证法1：∵，∴.

∴ 

.                   

令，

则

.

∵，

∴       

.               

∴，即.          

证法2：下面用数学归纳法证明不等式.

①当时，左边，右边，不等式成立；10分

②假设当N时，不等式成立，即，

则

.

也就是说，当时，不等式也成立.               

由①②可得，对都成立.                   

考点：不等式导数