Question

在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱BB₁和DD₁的中点.

（1）求证：平面B₁FC//平面ADE；

（2）试在棱DC上取一点M，使平面ADE；

（3）设正方体的棱长为1，求四面体A­₁—FEA的体积.

Answer

（1）E、F分别为正方体ABCD—A1B1C1D1棱BB1和DD1中点. 四边形DFB1E为平行四边形，即FB1//DE，由又

平面B1FC//平面ADE（2）取DC中点M（3）

【解析】

试题分析：（1）证明：E、F分别为正方体ABCD—A1B1C1D1棱BB1和DD1中点.

四边形DFB1E为平行四边形，

即FB1//DE，

由       2分

又

平面B1FC//平面ADE.       4分

（2）证明：取DC中点M，连接D1M，

由正方体性质可知，，

且        5分

所以

又

所以

所以       6分

又

平面B1FC1

又由（1）知平面B1FC1//平面ADE.

所以平面ADE.       8分

（3）方法一：由正方体性质有点F到棱AA1的距离及点E到侧面A1ADD1的距离都是棱长1  9分

     12分

方法二：取EF中点O1，

把四面体分割成两部分F—AA1O1，E—AA1O1

        10分

E、F分 为正方体ABCD—A1B1C1D1棱BB1和DD1中点，

由正方体性质有，O1为正方体的中心.

平面AA1O，

O1到AA1的距离为面对角线的一半，

      12分

考点：线面垂直平行的判定与椎体体积