Question

在四棱锥中，侧面底面，，底面是直角梯形，，，，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角为.

Answer

（Ⅰ）以为原点建立空间直角坐标系则

，，所以，， 又由平面，可得，所以平面.（Ⅱ）

【解析】

试题分析：解法一：

（Ⅰ）平面底面，，所以平面，………1分 

所以,  .……2分

如图，以为原点建立空间直角坐标系.

则 3分

，，

所以，， 4分

又由平面，可得，所以平面. 6分

（Ⅱ）平面的法向量为， 7分

，，

所以，  8分

设平面的法向量为，，，

由，，得

所以，，  9分

所以，  10分

所以，  11分

注意到，得.  12分   

法二：（Ⅰ）∵面PCD⊥底面ABCD，面PCD∩底面ABCD=CD，PD面PCD，且PD⊥CD

∴PD⊥面ABCD，………1分 又BC面ABCD，∴BC⊥PD   ①…. .…..……2分

取CD中点E，连结BE，则BE⊥CD，且BE=1

在Rt△ABD中，，在Rt△BCE中，BC=  4分

∵, ∴BC⊥BD  ②5分

由①、②且PD∩BD=D

∴BC⊥面PBD.        6分

（Ⅱ）过Q作QF//BC交PB于F，过F作FG⊥BD于G，连结 GQ.

∵BC⊥面PBD，QF//BC

∴QF⊥面PBD，∴FG为QG在面PBD上的射影，

又∵BD⊥FG ∴BD⊥QG

∴∠FGQ为二面角Q-BD-P的平面角；由题意，∠FGQ="45°" 8分

设PQ=x，易知

∵FQ//BC，∴

∵FG//PD∴ 10分

在Rt△FGQ中，∠FGQ=45°

∴FQ=FG，即  ∴… 11分

∵   ∴     ∴… 12分

考点：线面垂直及二面角