Question

如图，在四棱锥ABCD-PGFE中，底面ABCD是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB//DC，∠ABC＝45^o，DC＝1，AB＝2，PA＝1．

（Ⅰ）求PD与BC所成角的大小；

（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAC；

（Ⅲ）求二面角A-PC-D的大小．

Answer

（1）60o

（2）根据题意，由于BC⊥AC，且有PA⊥BC，则可以根据线面垂直的判定定理来得到结论。

（3）60o  

【解析】

试题分析：（Ⅰ）取的AB中点H，连接DH，易证BH//CD，且BD="CD" 1分

所以四边形BHDC为平行四边形，所以BC//DH

所以∠PDH为PD与BC所成角2分

因为四边形，ABCD为直角梯形，且∠ABC=45o， 所以DA⊥AB

又因为AB=2DC=2，所以AD=1， 因为Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH都为等腰直角三角形，所以PD=DH=PH=，故∠PDH=60o 4分

（Ⅰ）连接CH，则四边形ADCH为矩形， ∴AH=DC  又AB=2，∴BH=1

在Rt△BHC中，∠ABC=45o ， ∴CH=BH=1，CB= ∴AD=CH=1，AC=

∴AC2+BC2=AB2   ∴BC⊥AC……6分 又PA平面ABCD∴PA⊥BC ……7分

∵PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC  8分

（Ⅲ）如图，分别以AD、AB、AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由题设可知：

A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，

∴=(0，0，1)，=(1，1，-1) 9分

设m=(a，b，c)为平面PAC的一个法向量， 则，即

设，则，∴m=(1，-1，0)  10分

同理设n=(x，y，z) 为平面PCD的一个法向量，求得n=(1，1，1) 11分

∴ 12分

所以二面角A-PC-D为60o  13分

考点：空间角和距离的求解