Question

设函数.

（1）若,试求函数的单调区间；

（2）过坐标原点作曲线的切线，证明:切点的横坐标为1；

（3）令，若函数在区间（0，1］上是减函数，求的取值范围.

Answer

（1）的减区间为,增区间

（2）导数的几何意义的运用，理解切线的斜率即为该点的导数值既可以得到求证。

（3）

【解析】

试题分析：解: （1）时,          1 分

                   3分

的减区间为,增区间                 5分

（2）设切点为，

切线的斜率，又切线过原点

           7分

满足方程，由图像可知

有唯一解，切点的横坐标为1；              -8分

或者设,

,且,方程有唯一解         -9分

（3），若函数在区间（0，1］上是减函数，

则，所以---（*） 10分

若，则在递减，

即不等式恒成立                11分

若,

在上递增,

,即,上递增,

这与,矛盾               13分

综上所述,                                    14分

解法二: ，若函数在区间（0，1］上是减函数，

则，所以 10分

显然,不等式成立

当时,恒成立            11分

设

设

在上递增, 所以         12分

在上递减,

所以             14分

考点：导数的运用