Question

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知,,现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．

（Ⅰ）求证：DC平面ABC；

（Ⅱ）设，求三棱锥A－BFE的体积．

Answer

（1）对于线面垂直的证明，一般先证明线线垂直，然后根据DC⊥BC，以及AB⊥CD．来得到。

（2）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：在图甲中∵且 ∴ ,

即

在图乙中，∵平面ABD平面BDC ， 且平面ABD平面BDC＝BD

∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．

又，∴DC⊥BC,且

∴DC平面ABC．

（Ⅱ）【解析】
∵E、F分别为AC、AD的中点

∴EF//CD，又由（Ⅰ）知，DC平面ABC，

∴EF⊥平面ABC，

∴

在图甲中，∵, ∴,

由得 ,

∴   ∴

∴.

考点：线面垂直，和几何体体积