Question

如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．

（1）求证：BD⊥FG；

（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由．

（3）当二面角B—PC—D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．

Answer

（1）根据题意，由于面ABCD，四边形ABCD是正方形，结合其性质可知PA⊥BD，AC⊥BD，进而得到证明。

（2）当G为EC中点    （3）

【解析】

试题分析：【解析】
方法一：（I）面ABCD，四边形ABCD是正方形，

其对角线BD，AC交于点E，∴PA⊥BD，AC⊥BD   

∴BD⊥平面APC，平面PAC，

∴BD⊥FG        3分

（II）当G为EC中点，即时，FG//平面PBD， 4分

理由如下：

连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG//PE，

而FG平面PBD，PB平面PBD， 故FG//平面PBD．    7分

（III）作BH⊥PC于H，连结DH，

∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，

∴PB=PD，

又∵BC=DC，PC=PC，

∴△PCB≌△PCD，

∴DH⊥PC，且DH=BH，

∴∠BHD主是二面角B—PC—D的平面角，    9分

即

∵PA⊥面ABCD，

∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角   10分

连结EH，则

∴PC与底面ABCD所成角的正切值是…………12分

方法二【解析】
以A为原点，AB，AD，PA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，

设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）

D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）,

（I）

    …………3分

（II）要使FG//平面PBD，只需FG//EP，

而，

由可得，解得

    …………6分

故当时，FG//平面PBD …………7分

设平面PBC的一个法向量为

则，而

，取z=1，得，

同理可得平面PBC的一个法向量

设所成的角为0，

则

即

        …………10分

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，

∴PC与底面ABCD所成角的正切值是…………12分

考点：空间中的线面角以线线垂直的证明