Question

已知函 数.

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；

（2）若对于都有成立，试求的取值范围；

（3）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.

Answer

（1）的单调增区间是,单调减区间是.

（2）.           （3）

【解析】

试题分析：解: (I) 直线的斜率为1.函数的定义域为，，所以，所以. 所以. .由解得；由解得.

所以的单调增区间是,单调减区间是.

(II)，由解得；由解得.

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.

所以当时，函数取得最小值，.

因为对于都有成立，所以即可.

则. 由解得.  所以的范围是.

(III)依题得，则.由解得；由解得.

所以函数在区间为减函数，在区间为增函数.

又因为函数在区间上有两个零点，所以

解得.所以的取值范围是.   

考点：导数的运用