Question

如图1，的直径AB=4，点C、D为上两点，且CAB=45°，DAB=60°，F为弧BC的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直，如图2.

(I)求证：OF平面ACD；

(Ⅱ)求二面角C—AD—B的余弦值；

(Ⅲ)在弧BD上是否存在点G，使得FG平面ACD?若存在，试指出点G的位置；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）对于线面平行的判定关键是证明来得到。

（2）

(3) 在弧上存在点，使得//平面，且点为弧的中点

【解析】

试题分析：（方法一）：证明：（Ⅰ）如右图，连接，

，. …1分 又为弧的中点，，.平面，平面，平面． …4分

【解析】
（Ⅱ）过作于，连．

，平面⊥平面．

⊥平面．又平面， ， 平面，，则∠是二面角的平面角． ，， . 由⊥平面，平面，得为直角三角形，，==．   8分

（Ⅲ）取弧的中点，连结、，则

…平面，平面平面//平面.

因此，在弧上存在点，使得//平面，且点为弧的中点．…12分

（方法二）：证明：（Ⅰ）如图，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以为原点，建立空间直角坐标系

则．…… 1分，

点为弧的中点，点的坐标为，．

【解析】
（Ⅱ），点的坐标，．

设二面角的大小为，为平面的一个法向量．

由 有 即

取，解得，． =．  5分

取平面的一个法向量=，    6分

．  8分

（Ⅲ）设在弧上存在点,

,由（Ⅱ）知平面的一个法向量为=．

= ①   9分

又因为   ②由①②两式联立解得，…11分，因为，所以,则为弧的中点，因此，在弧上存在点，使得//平面，且点为弧的中点． ………12分

考点：线面平行和二面角的平面角