Question

已知函数 .

（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；

（Ⅱ）若且对任意恒成立，试确定实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数，求证：.

Answer

（Ⅰ）在单调递增；在单调递减  4分

（Ⅱ）.

（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ），令，解得

当时，，在单调递增；

当时，，在单调递减  4分

（Ⅱ）为偶函数，恒成立等价于对恒成立

解法1:当时，，令，解得

（1）当，即时，在减，在增

，解得，

（2）当，即时，，在上单调递增，

，符合，

综上，.                  9分 

解法2: 等价于对恒成立,

设则. 当时, ;当时, ;

时,  

（Ⅲ）

.   14分

考点：应用导数研究函数的单调性，证明不等式恒。