Question

某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对环境的影响，环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱，个单位的固体碱在水中逐渐溶化,水中的碱浓度与时间(小时)的关系可近似地表示为：,只有当污染河道水中碱的浓度不低于时,才能对污染产生有效的抑制作用.

(Ⅰ) 如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效的抑制作用的时间有多长？

(Ⅱ) 第一次投放1单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到时,马上再投放1个单位的固体碱,设第二次投放后水中碱浓度为,求的函数式及水中碱浓度的最大值.（此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加）

Answer

（1）3     (2)

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 由题意知或       2分

解得或，即           3分

能够维持有效的抑制作用的时间：小时.        4分

(Ⅱ) 由⑴知，时第二次投入1单位固体碱，显然的定义域为…5分

当时，第一次投放1单位固体碱还有残留,故

=+=;          6分

当时，第一次投放1单位固体碱已无残留,故

当时，  =;     7分

当时，  ;            8分

所以            9分

当时，

==;

当且仅当时取“=”,即（函数值与自变量值各1分）…10分

当时，第一次投放1单位固体碱已无残留，

当时， ，所以为增函数;

当时，为减函数;故 =，     ……11分

又,所以当时，水中碱浓度的最大值为.                    ……12分

答：第一次投放1单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为3小时；第一次投放小时后, 水中碱浓度的达到最大值为.             ……13分

考点：函数的最值