Question

如图，在三棱柱中，△是边长为的等边三角形，平面，，分别是，的中点.

（1）求证：∥平面；

（2）若为上的动点，当与平面所成最大角的正切值为时，求平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值.

Answer

(1)对于线面的平行的证明，关键是证明∥. （2）

【解析】

试题分析：（1）证明：取的中点，连接、. 

∵为的中点，

∴∥，且.       1分

∵∥，且，∴∥，.        2分

∴四边形是平行四边形.  ∴∥.          3分

∵平面，平面，∴∥平面.       4分

（2）【解析】
∵平面，平面， ∴.

∵△是边长为的等边三角形，是的中点，∴，.

∵平面，平面，，∴平面.

∴为与平面所成的角.   

∵，在Rt△中，，

∴当最短时，的值最大，则最大.   

∴当时，最大. 此时，

.∴.

在Rt△中，.

∵Rt△～Rt△，

∴，即.∴.           8分

以为原点，与垂直的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.

则，，，.

∴，，.设平面的法向量为，由，，令，则.

∴平面的一个法向量为.       10分

∵平面， ∴是平面的一个法向量.

∴.                     11分

∴平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.     12分

考点：空间向量法，以及几何证明