Question

设函数，其中为常数．

（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；

（Ⅱ）当时,求的极值点并判断是极大值还是极小值；

（Ⅲ）求证对任意不小于3的正整数，不等式都成立．

Answer

（1）当时， ，函数在定义域上单调递增

（2）时，有惟一极小值点，

（3）由(2)可知当时，函数，此时有惟一极小值点故可以得到函数借助于单调性来证明不等式。

【解析】

试题分析：【解析】
（1）由题意知，的定义域为，

当时， ，函数在定义域上单调递增．  …………4分

（2）当时有两个不同解， ，,

此时 ，随在定义域上的变化情况如下表：

减

极小值

增

由此表可知：时，有惟一极小值点，     ………8分

（3）由(2)可知当时，函数，

此时有惟一极小值点

且 

                      …… 11分

令函数

 13分

考点：导数的运用