Question

已知函数．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）

（2）的单调递增区间为和，单调递减区间为

（3）

【解析】

试题分析：函数的定义域为，   1分

．    2分

（Ⅰ）当时，函数，，．

所以曲线在点处的切线方程为，

即．                  4分

（Ⅱ）函数的定义域为．   

（i）当时，在上恒成立，

则在上恒成立，此时在上单调递减． 5分

（2）当时，，

（ⅰ）若，

由，即，得或；   6分

由，即，得．        7分

所以函数的单调递增区间为和，

单调递减区间为． 8分

（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增．          9分

（Ⅲ））因为存在一个使得，

则，等价于.  10分

令，等价于“当 时，”. 

对求导，得.  11分

因为当时，，所以在上单调递增.   12分

所以，因此.      13分

考点：导数的运用