Question

已知函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）设，证明：对任意，.

Answer

（Ⅰ）分类讨论得到单调性      （Ⅱ）构造函数用导数的方法证明.      

【解析】

试题分析：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+)，  

当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；

当a≤－1时，＜0, 故f(x)在(0,+)单调减少；

当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0, )时, ＞0；

x∈(，+)时，＜0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少   

(Ⅱ)不妨设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.

所以等价于≥4x1－4x2,

即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.         

令g(x)=f(x)+4x,则+4＝.               

于是≤＝≤0.

从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，

故对任意x1,x2∈(0,+) ，.

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．