Question

已知函数（，），．

（1）求函数的单调区间,并确定其零点个数；

（2）若在其定义域内单调递增，求的取值范围；

（3）证明不等式 （）．

Answer

（1）当时，为的减区间，为的增区间，有且只有一个零点；当时，为的增区间，为的减区间，有且只有一个零点.

（2）

（3）由（2）可知 当时，在内单调递增，

而所以当时， 即   放缩法来得到。

【解析】

试题分析：【解析】
（1）                 1分

则

                 2分

（i）若，则当时，；当时，

所以 为的增区间，为的减区间.        3分

极大值为

所以只有一个零点.

（ii）若，则当时，；当时，

所以 为的减区间，为的增区间.

极小值为              4分

所以只有一个零点.

综上所述，

当时，为的减区间，为的增区间，有且只有一个零点；

当时，为的增区间，为的减区间，有且只有一个零点.

5分

（2）

              6分

由在其定义域内单调递增，可知,恒成立.

则   恒成立.          7分

(法一)由二次函数的图象(开口向上，过定点)可得或 

8分

则 或

则 或

得 .

可以验证 当时在其定义域内单调递增

故 .                         9分

(法二)分离变量

因  （当且仅当，即时取到等号） 8分

所以 ， 则.

可以验证 当时在其定义域内单调递增

故                           9分

（3）由（2）可知 当时，在内单调递增，

而

所以当时，

即                     10分

令 ，

则                    11分

则

所以 ，，  , ,,

以上个式子累加可得

12分

则

则           13分

则

故  （）．      14分

考点：导数的运用