Question

在如图所示的几何体中，是边长为2的正三角形，平面ABC，平面平面ABC，BD=CD，且．

（1）若AE=2，求证：AC∥平面BDE；

（2）若二面角A—DE—B为60°．求AE的长。

Answer

（1）根据题意由于可以得到∥，又平面，平面，从而得到证明。

（2）

【解析】

试题分析：（1）分别取 的中点,连接,则∥,∥,且，

因为，,为的中点，

所以,，

又因为平面⊥平面，

所以平面．     3分

又平面,

所以∥，  5分

所以∥，且,因此四边形为平行四边形，

所以∥，所以∥，又平面，平面，

所以∥平面. 7分

（或者建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，计算即证）

（2）解法一:

过作垂直的延长线于,连接.

因为,,

所以平面,平面

则有.

所以平面,平面,

所以.

所以为二面角的平面角，

即.    10分

在中，，则 ,.

在中，.

设，则,所以，又

在中,,即=，

解得，所以．       14分

解法二:

由（1）知平面，,

建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则,,

,，

,.

设平面的法向量

则所以 

令, 所以 ，11分

又平面的法向量，

所以，

解得， 即．        14分

考点：线面平行以及线段的长度