Question

如图所示：已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点。

（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；

（2）设抛物线在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程；

（3）设过抛物线焦点F的直线与椭圆的交点为C、D，是否存在直线使得，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由。

Answer

（1）根据题意只要证明∴以线段AF为直径的圆与x轴相切

（2）

（3）。

【解析】

试题分析：（1）解法一（几何法）设线段AF中点为，过作垂直于x轴，垂足为,则

 ，     2分

又∵，       3分

∴∴以线段AF为直径的圆与x轴相切。     4分 

解法二（代数法）设,线段AF中点为，过作垂直于x轴，

垂足为，则，

∴．      2分

又∵点为线段AF的中点，∴，     3分

∴，

∴以线段AF为直径的圆与x轴相切。     4分

（2）设直线AB的方程为，，

由 ，

∴．     5分

由，

，      6分

，故的外接圆圆心为线段的中点。

设线段AB中点为点P，易证⊙P与抛物线的准线相切，切点为点M ，

．  7分

 8分

又，

 ．     9分

（3），设，10分

则 ，设，则

       11分

将代入可得： ． ①     12分

由，

联立可得，②     13分

联立①②可得 ，解得．

。      14分

考点：直线与椭圆的位置关系