Question

已知函数，

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，函数恒成立，求实数的取值范围；

（3）设正实数满足．求证：

．

Answer

（1）当时，只有单调递增区间；

当时，单调递增区间为，；

单调递减区间为

（2）

（3）由（2）知，在恒成立，构造函数来求证不等式。

【解析】

试题分析：

1） 

 ，   1分

由的判别式，

①当即时，恒成立，则在单调递增； 2分

②当时，在恒成立，则在单调递增；   3分

③当时，方程的两正根为

则在单调递增，单调递减，单调递增．

综上，当时，只有单调递增区间；

当时，单调递增区间为，；

单调递减区间为．    5分

（2）即时，恒成立．

当时，在单调递增，

∴当时，满足条件．  7分

当时，在单调递减，

则在单调递减，

此时不满足条件，

故实数的取值范围为．                             9分

（3）由（2）知，在恒成立，

令 ，则  ，     10分

∴．                 11分

又，

∴ ，                      13分

∴ ．                                     14分

考点：导数的运用