Question

设是定义在的可导函数，且不恒为0，记．若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶负函数 ”；若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶不减函数”（为函数的导函数）．

（1）若既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数的取值范围；

（2）对任给的“2阶不减函数”，如果存在常数，使得恒成立，试判断是否为“2阶负函数”？并说明理由．

Answer

（1）

（2）所有满足题设的都是“2阶负函数”

【解析】

试题分析：【解析】
（1）依题意，在上单调递增，

故 恒成立，得，             2分

因为，所以．                        4分

而当时，显然在恒成立，

所以．                                       6分

（2）①先证：

若不存在正实数，使得，则恒成立．     8分

假设存在正实数，使得，则有，

由题意，当时，，可得在上单调递增，

当时，恒成立，即恒成立，

故必存在，使得（其中为任意常数），

这与恒成立（即有上界）矛盾，故假设不成立，

所以当时，，即；            13分

②再证无【解析】

假设存在正实数，使得，

则对于任意，有，即有，

这与①矛盾，故假设不成立，

所以无解，

综上得，即，

故所有满足题设的都是“2阶负函数”．             16分

考点：新定义