Question

已知两点F₁(-1,0)及F₂(1,0),点P在以F₁、F₂为焦点的椭圆C上,且|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|构成等差数列.

（1）求椭圆C的方程;

（2）如图,动直线l:y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点,点M,N是直线l上的两点,且F₁M⊥l, F₂N⊥l.求四边形F₁MNF₂面积S的最大值.

Answer

（1）

（2）

【解析】

试题分析：(1)依题意,设椭圆的方程为.

构成等差数列,

, .

又,.

椭圆的方程为   

(2) 将直线的方程代入椭圆的方程中,

得 

由直线与椭圆仅有一个公共点知,,

化简得: 

设,, 

(法一)当时,设直线的倾斜角为,

则,

,      , 

,当时,,,.

当时,四边形是矩形, 

所以四边形面积的最大值为 

(法二), 

. 

. 

四边形的面积,                        

当且仅当时,,故. 

所以四边形的面积的最大值为 

考点：直线与椭圆的位置关系