Question

(1)已知函数为有理数且)，求函数的最小值;

(2)①试用(1)的结果证明命题：设为有理数且，若时，则；

②请将命题推广到一般形式，并证明你的结论；

注：当为正有理数时，有求导公式

Answer

（1）（2）①关键是利用函数的最小值为②利用数学归纳法可证。

【解析】

试题分析：【解析】
（Ⅰ）令

得

当时，，故在上递减．

当，故在上递增．

所以，当时，的最小值为 

（Ⅱ）（ⅰ），令，由（Ⅰ）知

，，即 

（ⅱ）命题推广到一般形式为：设为有理数且，

若时，则.

下面用数学归纳法证明如下：①当时，由（Ⅱ）（ⅰ）知，不等式成立；

②假设时，不等式成立，即，

那么时，要证，

即证，

设函数，

则，

令，得，

当时，，

故在上递减；

当，类似可证，故在上递增．

当时，的最小值为

，

由归纳假设知，所以，

，

时不等式成立.

综上，原命题得证 

考点：数学归纳法