Question

如图，已知长方形ABCD中，AB＝2，A₁，B₁分别是AD，BC边上的点，且AA₁=BB₁="1," E，F分别为B₁D与AB的中点. 把长方形ABCD沿直线折成直角二面角，且.

（1）求证：

（2）求三棱锥的体积.

Answer

（1）根据题意，由于AA1⊥A1B1，同时FG//AA1，故FG⊥A1B1 ,那么结合A1B1⊥面EFG，可得A1B1⊥EF

得到结论。

（2）

【解析】

试题分析：【解析】
（I）证明：因为AA1=BB1="1," 且AA1//BB1，所以四边形ABB1A1为矩形，故AA1⊥A1B1，

取A1B1的中点G，边接EG，FG，因为F为AB的中点，所以AF//A1G，且AF＝A1G，可得四边形AFGA1是平行四边形，所以FG//AA1，故FG⊥A1B1 ,同理可得EG⊥A1B1,所以A1B1⊥面EFG，可得A1B1⊥EF. 因为CD//A1B1，所以CD⊥EF.  （6分）

（II）因为∠A1B1D=30°，所以，

可得，因为二面角A－A1B1－D为直二面角，由（I）可知FG⊥面A1B1E, 所以  （12分）

考点：三棱锥的体积以及线线垂直