Question

已知椭圆：的右焦点在圆上，直线交椭圆于、两点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若(为坐标原点)，求的值；

(3)设点关于轴的对称点为（与不重合），且直线与轴交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）

（2））

（3）故的面积存在最大值.

【解析】

试题分析：解(1)由题设知，圆的圆心坐标是，半径为，

故圆与轴交与两点，. 1分

所以，在椭圆中或，又，

所以，或 (舍去，∵), …于是，椭圆的方程为. 4分

(2)设，；直线与椭圆方程联立,

化简并整理得.

∴，,

∴，

.    6分

∵，∴,即得 

∴，，即为定值.     8分

(3)∵，,    

∴直线的方程为

令，则

,

∴解法一：

    13分

当且仅当即时等号成立. 故的面积存在最大值.…

(或: ,

令，    

则

当且仅当时等号成立，此时故的面积存在最大值.…

考点：直线与椭圆的位置关系