Question

已知函数，，

⑴求函数的单调区间；

⑵记函数，当时，在上有且只有一个极值点，求实数的取值范围；

⑶记函数，证明：存在一条过原点的直线与的图象有两个切点

Answer

（1）当时，为单调增区间，当时，为单调减区间， 为单调增区间．

（2）

（3）在第二问的基础上，根据函数的单调性以及导数的几何意义来证明。

【解析】

试题分析：（1）因为，

①若，则，在上为增函数，2分 ②若，令，得，

当时，；当时，．

所以为单调减区间，为单调增区间． 综上可得，当时，为单调增区间，

当时，为单调减区间， 为单调增区间．  4分

（2）时，，

，  5分

在上有且只有一个极值点，即在上有且只有一个根且不为重根，

由得，

（i），，满足题意；…… 6分

（ii）时，，即；… 7分

（iii）时，，得，故； 综上得：在上有且只有一个极值点时，． ………8分注：本题也可分离变量求得．

（3）证明：由（1）可知：

（i）若，则，在上为单调增函数，

所以直线与 的图象不可能有两个切点，不合题意． 9分

（ⅱ）若，在处取得极值．

若，时，由图象知不可能有两个切点．10分

故，设图象与轴的两个交点的横坐标为（不妨设），

则直线与的图象有两个切点即为直线与和的切点．，，

设切点分别为，则，且

，，，

即   ① ,    ② ,   ③ ,

①-②得：，

由③中的代入上式可得：，即，12分

令，则，令，因为，，故存在，使得，

即存在一条过原点的直线与的图象有两个切点．14分

考点：导数的运用