Question

已知是椭圆和双曲线的公共顶

点。是双曲线上的动点,是椭圆上的动点（、都异于、），且满足，其中，设直线、、、的斜率 分别记为, ,则        

Answer

-5

【解析】

试题分析：∵A，B是椭圆和双曲线的公共顶点，

∴（不妨设）A（-a，0），B（a，0）．

设P（x1，y1），M（x2，y2），∵，其中λ∈R，

∴（x1+a，y1）+（x1-a，y1）=λ[（x2+a，y2）+（x2-a，y2）]，化为x1y2=x2y1．

∵P、M都异于A、B，∴y1≠0，y2≠0．∴．

由k1+k2==5，化为（*）

又∵=1，∴，代入（*）化为．

k3+k4=，又=1，

∴，

∴k3+k4=-=-5．

故答案为-5．

考点：椭圆、双曲线的标准方程及几何性质，平面向量的坐标运算，直线的斜率及其坐标运算。