Question

如图，在三棱锥中，，，设顶点在底面上的射影为．

（Ⅰ）求证:；

（Ⅱ）设点在棱上，且，试求二面角的余弦值．

Answer

（1）根据题意，由于已知条件可知平面，那么利用线面垂直的性质定理得到。

（2）

【解析】

试题分析：证明：（I）方法一：由平面得，

又，则平面，

故，  2分

同理可得，则为矩形，又，

则为正方形，故．  4分

方法二：由已知可得，设为的中点，则，则平面，故平面平面，则顶点在底面上的射影必在，故．

（II）方法一:由（I）的证明过程知平面，过作，垂足为，则易证得，故即为二面角的平面角， 7分

由已知可得，则，故，则，

又，则，  9分

故，即二面角的余弦值为． 11分

方法二: 由（I）的证明过程知为正方形，如图建立坐标系，

则，

可得， 7分

则，易知平面

的一个法向量为，设平面的一个法向量为

，则由得， 9分

则，即二面角的余弦值为． 11分

考点：线面垂直的性质定理以及二面角的大小