Question

如图，在三棱柱中， ，，，点是的中点，.

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）设点在线段上，，且使直线和平面所成的角的正弦值为，求的值.

Answer

（Ⅰ）连接交于点，连接，得到∥，进一步可得∥平面.                          

（Ⅱ）。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：在三棱柱中，

连接交于点，连接，则是的中点

在中，点是的中点，

所以∥，                   

又，，

所以∥平面.                          （5分）

（Ⅱ）在中，，，点是的中点

所以，又，是平面内的相交直线，

所以平面，可知.                （7分）

又，是平面内的相交直线，交点是D，

知平面. 平面

在三棱柱中，为线段上的点，

过分别作于点，于点，连接

由平面，，得

又，、是平面内的相交直线

所以平面，

是在平面内的射影，

是直线和平面所成的角.                （12分）

设，由得，

可得，

所以在中，, 解得 （14分）

考点：三棱柱的几何特征，平行关系，垂直关系，角的计算。