Question

如图, 平面平面, 是以为斜边的等腰直角三角形, 分别为, , 的中点, , ．

(1) 设是的中点, 证明：平面；

(2) 证明：在内存在一点, 使平面, 并求点到, 的距离．

Answer

（1）建立直角坐标系，利用向量的数量积为零来得到证明。

（2）到, 的距离为．

【解析】

试题分析：证明：

（I）  如图, 连结OP, 以O为坐标原点, 分别以OB、OC、OP所在直线为轴, 轴, 轴, 建立空间直角

坐标系O,  

,  -2分

由题意得, 因,

因此平面BOE的法向量为,  4分

得, 又直线不在平面内,

因此有平面 6分

（II）设点M的坐标为, 则, 因为平面BOE, 所以有, 因此有, 即点M的坐标为,  9分

在平面直角坐标系中, 的内部区域满足不等式组, 经检验, 点M的坐标满足上述不等式组, 所以在内存在一点, 使平面,  11分

由点M的坐标得点到, 的距离为．     12分

考点：距离和垂直的证明